Logarithmen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen. Sie fragen nach der Zahl, mit der die Basis des Logarithmus potenziert werden muß, um das Argument der Logarithmusfunktion zu erhalten:
Auf der rechten Seite der Gleichung ist a die Basis und b das Argument der Logarithmusfunktion.
Beispiele:
Gleichung 8.8. Logarithmus von 1 und a
Aus der Umkehrung der entsprechenden Regeln für Potenzen ergibt sich:
Gleichung 8.9. Logarithmus von Produkten
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:
Gleichung 8.10. Logarithmus von Kehrwerten
Durch Multiplikation mit -1 erhält man den Logarithmus des Kehrwerts eines Arguments:
Gleichung 8.11. Logarithmus von Brüchen
Daraus ergibt sich, daß der Logarithmus eines Bruchs gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner ist:
Gleichung 8.12. Logarithmus von Potenzen
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt der Logarithmen von Basis und Exponent:
Gleichung 8.13. Umrechnung von Logarithmen
Daraus ergibt sich, daß Logarithmen von einer Basis in eine andere Basis umgerechnet werden können:
Dies ist eine wichtige Formel, da Taschenrechner und Computer oft lediglich den Logarithmus zur Basis e (≍ 2.718281828459) rechnen können, in der Akustik und Musik aber häufig mit der Basis 2 oder 10 gerechnet wird. Die Herleitung dieser Formel wird im nächsten Abschnitt beschrieben.
Gleichung 8.14. Der Zehnerlogarithmus
Da der Zehnerlogarithmus häufig verwendet wird, benutzt man als Abkürzung die Schreibweise lg (statt log) und spart sich damit, die Basis explizit zu notieren:
Gleichung 8.15. Der Natürliche Logarithmus
Das Gleiche gilt für den Logarithmus zur Basis e (≍ 2.718281828459). Hier verwendet man als Abkürzung die Schreibweise ln:
