Wie bereits dargestellt, ergibt sich das Intervall (gleichbedeutend mit Frequenzverhältnis) zweier Töne dadurch, daß man die Frequenzen dieser Intervalle dividiert:

Durch einfache mathematische Umformung erhält man eine äquivalente mathematische Aussage: Multipliziert man die Frequenz eines Tones mit einem Faktor (fv), so erhält man die Frequenz eines zweiten Tones. Der Faktor gibt dabei das Intervall (Frequenzverhältnis) zwischen diesen beiden Tönen an:

Um das Rechnen mit Intervallen zu üben, verwenden wir zunächst die große Sekunde aus Tabelle 6.1, „Faktoren gebräuchlicher Intervalle in reiner Stimmung“. Legt man für den Ton a' die Frequenz 440 Hz zugrunde, so erhält man die Frequenz des darunterliegenden Tons g' durch Multiplikation von 440 Hz mit 8/9 (≍ 0.889) (oder durch die mathematisch äquivalente Operation der Division durch den Kehrwert 9/8 (≍ 1.125)).

Als Ergebnis erhalten wir für g' die Frequenz 391.1 Hz:

Die Frequenz des darunterliegenden Tons f' erhält man, indem man die errechnete Frequenz von g erneut mit 8/9 multipliziert:

Die Frequenz von f' lässt sich aber auch direkt aus der Frequenz von a' errechnen:

Dieses Verfahren lässt sich beliebig fortführen, indem für jede weitere großen Sekunde erneut mit 8/9 multipliziert wird. Bei 6 großen Sekunden ergibt sich ungefähr das Intervall der Oktave abwärts:

Anstatt den Faktor 6 mal aufzuschreiben, bietet sich die Exponentialschreibweise an. Der Exponent gibt dabei direkt die Anzahl der aneinandergereihten Sekunden an:

Verallgemeinert lässt sich dieser Zusammenhang so darstellen:

Das Gesamtintervall ist also das Ergebnis der Potenzierung eines kleineren Intervalls (der Basis der Potenzfunktion) mit einer ganzen Zahl. Der Exponent gibt hierbei die Anzahl des kleineren Intervalls an, die benötigt werden, um das Gesamtintervall zu erhalten.

Dies ist auch umgekehrt darstellbar. Wenn sich das Gesamtintervall als Potenzierung des kleineren Intervalls darstellen lässt, so lässt sich das kleinere Intervall auch dadurch errechnen, daß man aus dem Gesamtintervall die n-te Wurzel zieht.. Dies ist gleichbedeutend mit der Exponentialschreibweise, in der der Kehrwert von n im Exponenten steht:

Hinweis:

Wem diese Rechnungen nicht gut vertraut sind, sollte an dieser Stelle unbedingt die Abschnitte über das Rechnen mit Potenzen und das Rechnen mit Logarithmen durcharbeiten.