Wertebereiche werden in der Folge mit einer eckigen Klammer dargestellt, zwischen denen der kleinste und größte Wert des Wertebereichs, von zwei Punkten getrennt, steht. Der sogenannte normalisierte Wertebereich von 0 bis 1 wird also mit der Zeichenfolge [0..1] bezeichnet. Eine Abbildung wird durch einen waagerechten Pfeil bezeichnet. Über dem Pfeil kann man durch die Symbole "lin", "log" bzw. "exp" darstellen, um welche Art von Abbildung es sich handelt. Als allgemeine Bezeichner für die beiden Wertebereiche verwenden wir die Symbole min und max für den Ausgangswertebereich und die Symbole MIN und MAX für den Zielwertebereich. In dem oben gegebenen konkreten Beispiel gilt also min=1, max=4, MIN=2 und MAX=16.
Zunächst eine Lösung für den Fall einer linearen Abbildung. Die hier verwendete Lösung verläuft in zwei Schritten. Zunächst wird die Abbildung ausgangsseitig normalisiert, d.h. ein Ausgangswertebereich von [0..1] wird verwendet, um den Zielwertebereich [MIN..MAX] abzubilden.
Die Formel für den ersten Schritt der Abbildung lautet:
Ein kurzer Test für die Randwerte mag als Hinweis für die Richtigkeit der Formel dienen:
und
(Die genaue Herleitung dieser und der in Folge gegebenen Formeln wird hier gegeben.)
Der zweite Teil der Lösung bildet einen beliebigen Ausgangswertebereich auf den normalisierten Zielwertebereich ab. Die Formel hierfür lautet:
Auch hier eine kurze Überprüfung für die Randwerte:
und
Die Lösung mit beliebigen Ausgangs- und Zielbereichen erhält man, indem man die beiden Abbildungen verkettet:
Anders ausgedrückt: Die x-Werte in Gleichung 9.1, „Normalisierte lineare Abbildung (1)“ (f(x) = (MAX - MIN) * x + MIN) müssen den Wertebereich [0..1] annehmen, damit der Zielwertebereich [MIN..MAX] ist.
Wenn das "x" in dieser Gleichung durch die rechte Seite von Gleichung 9.2, „Normalisierte lineare Abbildung (2)“ ersetzt wird, so erhält man diesen erwünschten Wertebereich aus einem Ausgangswertebereich [min..max].
Für die Lösung gilt also:
Auch hier nun eine kurze Überprüfung mit Hilfe der Randwerte:
Die Lösung für exponentielle Abbildungen ist analog zur Lösung linearer Abbildungen. Allgemein gilt für Exponentialfunktionen die Formel:
Ein normalisierter Wertebereich wird dabei folgendermaßen auf den Zielwertebereich abgebildet:
Auch hier eine kurze Überprüfung anhand der Randwerte:
und
Man beachte, daß Gleichung 9.5, „Normalisierte exponentielle Abbildung“ der Gleichung 9.1, „Normalisierte lineare Abbildung (1)“ entspricht, bei der die mathematischen Operatoren für Differenzen (- und +) durch Operatoren für Proportionen (* bzw /), sowie Operatoren für Proportionen durch Potenzen ersetzt werden.
Der zweite Schritt ist analog zur Lösung der linearen Abbildung: Da der Exponent x in der Exponentialfunktion gleichmäßig linear von [0..1] für beliebige Ausgangswertebereiche [min..max] gehen soll, wird die Gleichung (2) der linearen Abbildung verwendet und das "x" in (4) durch die rechte Seite von Gleichung (2) ersetzt:
Aufgabe: Überprüfen Sie die Randwerte für die Gleichung 9.6, „Allgemeine Form der exponentiellen Abbildung“.
Die Formel für die logarithmische Abbildung kann entweder direkt als Umkehrfunktion von (5) gebildet werden (siehe Herleitung), oder, ähnlich der exponentiellen Funktion, durch eine Verkettung von Abbildungen. Dafür wird zunächst eine normalisierte logarithmische Abbildung, diesmal aber von [min..max] -> [0..1] (anstatt von [0..1] -> [MIN..MAX], wie im exponentiellen Fall) durchgeführt:
Erneut die kurze Überprüfung anhand der Randwerte:
und
Auch hier beachte man die Ähnlichkeit in der Struktur von Gleichung 9.7, „Normalisierte logarithmische Abbildung“ und Gleichung 9.2, „Normalisierte lineare Abbildung (2)“! Die Verkettung der Abbildungen führt nun dazu, daß das x von Gleichung (1) durch die rechte Seite von Gleichung (6) ersetzt wird und man dadurch die gesuchte Funktion für die logarithmische Abbildung erhält:
Aufgabe: Überprüfen Sie die Randwerte für ???.