Algorithmische Komposition mit Common Lisp

Umwandlung der Frequenzverhältnisse in Differenzen

Für unsere Wahrnehmung haben gleiche Proportionen zwischen den Frequenzen der Töne den gleichen Abstand, insofern bietet es sich an, die Proportionen in Differenzen umzuwandeln. Die Zahlen 1, 2, 4 und 8 lassen sich auch als \(2^0\), \(2^1\), \(2^2\) und \(2^3\) darstellen. In dieser Zahlenreihe bilden die Exponenten die Zahlenfolge 0, 1, 2 und 3, d.h. sie haben eine lineare, anstatt exponentielle Entwicklung, wie die Zahlenwerte 1, 2, 4 und 8. Diese Umwandlung der Exponentialwerte in eine lineare Zahlefolge erreicht man durch die Verwendung der Logarithmusfunktion:

\(1 = 2^0 \Leftrightarrow log_2(1) = 0\)

\(2 = 2^1 \Leftrightarrow log_2(2) = 1\)

\(4 = 2^2 \Leftrightarrow log_2(4) = 2\)

\(8 = 2^3 \Leftrightarrow log_2(8) = 3\)

Die folgenden zwei Tabellen zeigen die Gegenüberstellung der Darstellung der Frequenzverhältnisse aus Abb. 14 in linearer und logarithmischer Form.

Tabelle 1 Partialtöne als Frequenzverhältnisse
8	9	10	11	12	13	14	15	16
4		5		6		7		8
2				3				4
1								2

Partialtöne aus Abb. 14 in linearer darstellung mit konstanten Frequenzverhältnissen (Proportionen)

Tabelle 2 Partialtöne als Logarithmen der Frequenzen
3	3.17	3.32	3.46	3.58	3.7	3.81	3.91	4
2		2.32		2.58		2.81		3
1				1.58				2
0								1

Partialtöne aus Abb. 14 in logarithmischer Darstellung mit konstanten Intervalldifferenzen.

Wie man erkennen kann, weisen die Zahlen in allen Spalten der logarithmischen Tabelle die Differenz 1 zwischen aufeinanderfolgenden Zeilen auf. Diese Zahl 1 entspricht dabei genau einer Oktave (1.5 enspricht bei dieser Skalierung genau einem temperierten Tritonus) ¹

Diese Übersetzung von Proportionen in Differenzen lässt sich gut grafisch veranschaulichen. Abb. 16 zeigt eine Gegenüberstellung der linearen und der logarithmischen Darstellung der Partialtöne. Die Grundtöne und deren Oktaven sind in der Grafik jeweils rot eingefärbt.

Abbildung 16: Gegenüberstellung von linearer und logarithmischer Darstellung der Spektren von sechs transponierten Partialtonakorden

In der linearen Darstellung in der linken Hälfte der Grafik ist gut zu erkennen, dass die Frequenzabstände zwischen den Partialtönen eines Akkordes gleich sind. Die Abstände zwischen gleichen Intervallen ist allerdings unterschiedich: Die grauen Rechtecke umrahmen die ersten 4 Partialtöne und damit das Intervall von zwei Oktaven. Es ist gut zu erkennen, dass die Höhe dieser Rechtecke in den verschieden transponierten Partialtonakkorden in der linearen Darstellung unterschiedlich ist.

In der logarithmischen Darstellung auf der rechten Seite der Grafik dagegen sind zwar gleiche Frequenzdifferenzen nicht äquidistant, allerdings haben gleiche Intervalle unabhängig von der Transposition immer den gleichen vertikalen Abstand, wie an den grauen Rechtecken zu sehen ist.

Die Akkorde in der logarithmischen Darstellung entsprechen übrigens der Notendarstellung von Abb. 15. Auch in der Notenschrift haben gleiche Intervalle innerhalb eines Systems den annähernd gleichen vertikalen Abstand und insofern handelt es sich bei Notation um eine logarithmische Darstellung von Frequenzen.²

Fußnoten:

Dies ist sehr ähnlich mit der Skalierung in Cent, bei der die Oktave allerdings 1200 Cent beträgt. Wenn man in der Tabelle alle Zahlen mit der Zahl 1200 multipliziert, erhält man die Centzahlen für die ersten 16 Obertöne bezogen auf den Grundton.

Abweichungen entstehen zwar durch die bekannte nicht-gleichmäßige Aufteilung von Halb- und Ganztönen und Alterationszeichen, das wirkt sich aber nur lokal aus und hat keine Auswirkungen auf die Gesamtdisposition der Abbildung von Frequenzen auf Notation.